10月1日から新しい会社に就職し社会保険に加入したので、10月分の国民健康保険税は納付しなくてもいいですか。

国民健康保険税は1年分を9期に分けて納付するため、各月納期分の税額がその月の加入分ということではありません。
国民健康保険を脱退されたときは、加入月数に応じて精算を行いますので、10月から社会保険に加入された場合、国民健康保険税は4月から9月までの6か月分になりますが、納付自体は7月から始まるため、10月に精算分の納付が必要な場合があります。